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为什么高斯选择成为一位数学家?|数学万花筒

发表日期:2018-12-30 16:45

  下文节选自《数学万花筒》, 已获人邮图灵授权许可发布, [遇见数学] 特此表示感谢!

  高斯,1777年生于德国不伦瑞克,1855年卒于哥廷根。他的父母是没念过书的体力劳动者,但他成为了有史以来最伟大的数学家之一(很多人甚至认为可删去“之一”)。他弱龄早慧——据说,三岁时就指出了他父亲财务计算中的一个错误。十九岁时,他需要选择是研究数学还是语言,而当他发现如何利用尺规作出正十七边形时,他的选择已经不言自明了。

  这可能初听上去没什么,但这其实是破天荒的创举,开辟了数论的一个新分支。欧几里得的《几何原本》中有构造正三、四、五、六、十五边形的做法,古希腊人也早知道,可以在此基础上将正多边形的边数任意翻倍。在100以内,可用尺规作出的正多边形的边数(至少就古希腊人所知)必须是 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 32, 40, 48, 60, 64, 80, 96

  在之后的将近两千年里,人们一直认为没有其他正多边形可用尺规作出。特别是,欧几里得没有告诉我们如何构造正七边形和正九边形,因为他想像不出来这如何可能。而高斯的惊人发现将 17, 34 和 68 添加进了上述列表。更为惊人的是,他的方法揭示了其他边数(比如 7, 9, 11, 13)的正多边形为何无法利用尺规作出。(这样的正多边形确实存在,只是无法利用尺规作出。)

  高斯的发现是基于数 17的两个简单事实:它是质数,它比2 的幂大 1。所以整个问题可以被化简为找出哪些质数对应于可用尺规作出的正多边形,而之所以这里会牵扯 2 的幂,是因为每个尺规作图都可归结为取一系列平方根——具体而言,这暗示了尺规作图中涉及的每条线段的长度必定满足次数为 2 的幂的代数方程。构造正十七边形的关键方程是

  其中 x 是一个复数。方程的十六个解,外加数 1,构成了复平面上一个正十七边形的顶点。由于 16 是 2 的幂,高斯意识到他有可能成功。在经过一番巧妙的计算之后,他证明了,可用尺规作出正十七边形,只要你能构造出一条具有如下长度的线段:

  由于平方根总是可用尺规作出的,因此它实际上解决了正十七边形的尺规作图问题。高斯没有进一步给出具体的作图过程——公式本身足以说明问题。后来,其他数学家给出了明确的步骤。乌尔里希·冯·于格南 在1803年给出了首个方案,H.W. 里士满在1893年找到了另一个更简单的方法。

  高斯的方法证明了,当边数n是形为 2^k+1 的质数时,正 n 边形可用尺规作出。像这样的质数称为费马质数,因为费马曾研究过它们。特别是, 他注意到,如果 2^k+1 是质数,则 k 本身必须是 2 的幂。当 k=1, 2, 4, 8, 16 时,可分别得到费马质数 3, 5, 17, 257, 65 537。然而,2^32+1=4294967297=641×6700417,它不是质数。高斯已经意识到,正 n 边形可用尺规作出,当且仅当 n 是 2 的幂,或者 2 的幂与任意个相异的费马质数的积。但他没有给出完整的证明——很可能是因为这在他看来是显而易见的。

  他的结论也证明了,无法用尺规作出正七、十一和十三边形,因为边数虽然为质数,但不是形为 2^k+1。比如,正七边形对应的代数方程是 x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0,其次数为 6,而 6 不是 2 的幂。正九边形也不可构造,因为 9 不是几个相异的费马质数的积——9=3×3,3是费马质数,但这里相同的质数出现了两次。

  前面列出的只是已知的费马质数。如果确实还存在别的费马质数,那它一定极其巨大:就目前所知,最小的候选数是 2^33554432+1,其中33554432=2^25。虽然我们仍然无法确定具体哪些正多边形可用尺规作出,但这里唯一的不确定性只是可能存在非常巨大的费马质数。关于费马质数的一个有用网站是:FermatNumber.html

  1832年,弗里德里希·尤利乌斯·里歇尔特给出了正 257边形的尺规作法。19世纪末,林根乔治文理中学的约翰·古斯塔夫·赫尔梅斯曾花费十年心血研究如何构造正 65537 边形,他的未发表手稿现存于哥廷根大学,但其中很可能存在错误。

  如果借助其他工具,其他正多边形也可用尺规作出。如果使用一个可三等分角的工具,那么构造正九边形是轻而易举的。正七边形事实证明也可以,只是方法没有那么显而易见。(完)

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