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你拿披萨的方式很可能是错的

发表日期:2018-12-09 07:48

  我们都遇到过这种情况。你抓起一块披萨,正要一口吞掉的时候,披萨一下子软了,从你的指尖处耷拉了下来。披萨饼本身的结构强度不够高,无法支持整片的重量。也许下次应该少加点儿料?不用,无需绝望。如果是是个吃披萨多年的老手,那你应该知道怎么对付这样的场景:只需把披萨弯成U形即可。(手头没有披萨?拿一张纸试验一下就好。)

  一张纸拿在手里就会耷下去,但弯曲握就能让它笔直。为什么呢?图片来源:Aatish Bhatia

  这个披萨小窍门的背后,深藏着一项关于曲面的强力数学。这一数学发现如此绝妙,以至于它的发明人——数学天才卡尔·弗雷德里克·高斯(Carl Friedrich Gauss)——给它起了个拉丁文名叫Theorema Egregium,意思是“绝妙定理”。拿一张纸,卷成圆柱形纸筒。你可能觉得显而易见,纸本来是平的,卷成筒就弯了,对吧?可是高斯不这么想。他想给纸的弯曲程度(“曲率”)下一个定义,让它不因你人工施加的弯曲而改变。

  如果你放大去看一只生活在纸筒上的蚂蚁,这只蚂蚁可以走很多条不同的路线。它可以沿着弯曲道路横着走下去,画出一个圆;也可以沿着平坦路线竖着走,走出一条直线。或者它可以把两种方式组合起来,走一条螺旋。高斯的天才在于,他想到把所有这些路线都纳入曲率定义里面。办法是这样的:从任何一点出发,找到这只蚂蚁能选择的最极端的两条路线——也就是最凹的和最凸的两条线。然后把它们的曲率乘起来。凸的路线曲率是正的,凹的路线曲率是负的,直的路线。你得到的数字,就是那个点上的高斯曲率。

  举几个例子吧。对于纸筒上的蚂蚁来说,最极端的两条路,一条是横着画圆,另一条就是竖着画直线曲率,所以乘起来总是得到0。照数学家的说法,纸筒是平的——它的高斯曲率就是0。这正是因为你能用平整的纸张卷出一个纸筒。相反,如果蚂蚁活在一个球上,那么它就无法找到平坦的路线,每一条道路都会有一定程度的向外凸出,所以高斯曲率一定是个正的数。所以,球是弯的,而筒是平的。你可以把一张纸卷成一个筒,却永远不能卷成一个球。

  高斯的绝妙定理就是:生活在曲面上的蚂蚁,根本不需要离开它就能知道曲面的曲率。只要测量一下距离,计算一下就行。顺便说,这也是为什么我们没有离开宇宙却能测量出我们的宇宙是不是平的(根据目前的观测来看,它是)。但这个定理还有一个绝妙的结果:你可以随意弯曲一个曲面,只要你不拉长、压缩或者撕裂它,高斯曲率一定不会变。因为单纯弯曲不改变其上的距离,所以不管怎么弯,上面的蚂蚁总会计算出同样的高斯曲率。听起来可能有点儿抽象,但是这推论有十分紧贴现实的结果。把一个橘子切成两半,吃掉里面的东西,然后把剩下半个橘子皮放在地上,踩吧。皮永远不可能被踩扁成一个完整的圆。相反,它一定会裂开。这是因为球面和平面拥有不同的高斯曲率,所以不扭曲、不撕裂,是不可能把球面压平的。有没有试过给人寄篮球当礼物?包装纸会遇到完全一样的问题。不管你怎么弯曲一张纸,它总会留下一点点“平”的痕迹,所以最后只能得到皱皱巴巴一团糟。

  桔子皮不可能压成完整圆——因为球面和平面高斯曲率不同(而且桔子皮也没有什么延展性)。图片来源:Aatish Bhatia

  这个定理的另一个推论是,平面纸上永远不可能画出准确的地图。很多常见世界地图投影方式能精确地保留角度,但是在面积上就有严重误差。数学博物馆的推特指出,服装设计师也面临类似挑战——他们在平面上设计花样,却要符合弯曲的人体。

  每个红色圆圈的实际面积是相等的,但在地图上看起来就有很大的差异。图片来源:Stefan Kühn (左), Eric Gaba (右) / Wikimedia

  那这一切和披萨饼有什么关系呀?是这样的:你拿起披萨之前,它是平的(数学上说,它的高斯曲率为0)。高斯绝妙定理指出,这片披萨必须有至少一个方向永远保持平整——不管你怎么弯,它一定会留下一点“平”的痕迹。当这片披萨塌下去的时候,平的方向(红色箭头)是朝侧面的,这对吃掉它可没有什么帮助。但是如果你抢在它塌下去之前,先把披萨侧着捏弯,就迫使另一个方向只能保持平整——也就是对着你嘴巴的方向。还真是绝妙的定理呀。

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